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M. Euritis

M. Euritis

M. Euritis souhaite répartir 2008 euros entre Alberto, Benito et Carlos comme suit: donner 1 € à Alberto, 2 € à Benito, 3 € à Carlos, puis 4 € à Alberto, 5 € à Benito, 6 € à Carlos , et ainsi de suite, jusqu'à ce que vous soyez à court d'argent ou que vous ne puissiez pas livrer le montant que vous touchez.

Combien d'argent Benito reçoit-il et combien restera M. Euritis?

Extrait de la page problemate.blogspot.com.es.

Solution

Si nous essayons de calculer combien de tours M. Euritis donne, en ajoutant un par un les euros qu'il donne, nous nous fatiguerons probablement, mais il y a une astuce.

Par exemple, au quatrième tour, nous devrons ajouter 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12, ce qui est une longue somme. Si nous le groupons d'une certaine manière, cela ressemble probablement à autre chose. Vous verrez que si nous mettons 1 + 12 + 2 + 11 + 3 + 10 + 4 + 9 + 5 + 8 + 6 + 7, il y a une régularité intéressante: tous les deux addends ajoutent la même chose, c'est-à-dire 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13, ou ce qui est le même 13 six fois. Et c'est six fois parce que c'est la moitié de la somme totale. Depuis 13 * 6 = 65, nous sommes encore loin de 2008, mais nous avons une méthode.

Et si le nombre d'addends est impair? Eh bien, ça sort aussi. Imaginez que nous additionnons au cinquième tour, nous devons 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 = 1 + 15 + 2 + 14 + 3 + 13 + 4 + 12 + 5 + 11 + 6 + 10 + 7 + 9 + 8 = 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 + 8 = 16 * 7,5 = 120. Notez que même si nous correspondons à tous les De plus, on se retrouve sans partenaire, car c'est étrange, mais cela vaut exactement la moitié de la somme de deux, c'est donc comme si vous aviez la moitié exacte des addenda qu'auparavant.

Si nous supposons qu'il a fait n tours en ajoutant des euros, nous aurons distribué 1 + 2 + 3 + ... + 3n = (3n + 1) * 3n / 2, c'est-à-dire la somme du dernier plus le premier pour le total des addends par 2.

Et ce nombre que nous voulons approcher de 2008, c'est-à-dire (3n + 1) * 3n / 2 = 2008 (environ). Si nous le résolvons comme s'il s'agissait d'une équation, nous multiplions par 2, et il reste (3n + 1) * 3n = 4016, où 9n2 + 3n = 4016, et nous avons l'équation du deuxième degré 9n2 + 3n - 4016 = 0. , que nous ne cherchons pas la solution exacte, sinon celle qui se rapproche le plus de 2008 produit le résultat sans aller plus loin. La solution négative ne nous intéresse pas, il nous faudrait donc environ n (-3 + √ (9 + 4 * 9 * 4016)) / (2 * 9). L'expression à l'intérieur de la racine est 144585, dont la racine, arrondie, est 380. Si nous soustrayons trois, c'est 377, qui, en le divisant par 18 ne donne pas exactement, nous arrondissons à 20.

Pour n = 20, la somme donne 1830, tandis que pour 21 donne 2016.

Ensuite, dans la série de livraison d'argent, il s'arrêtera au numéro 20, et restera sur 2008 - 1830 = 178 €.

Combien avez-vous donné à Benito? Pour calculer cela, nous devons ajouter 2 + 5 + 8 +… + 56 + 59, qui sera la somme que nous plaçons en position 20. Encore une fois, nous observons que 2 + 59 = 5 + 56 = 61, si nous choisissons les 20 addends de manière pratique, nous aurons 10 fois 61, ce qui signifie un total pour Benito de 610 €.

Vidéo: Canal Euridis - Euridis, la réussite accessible à tous ! (Septembre 2020).